Пусть однозначная функция определена в некоторой области и пусть точки и принадлежат области .
Определение. Если существует конечный предел отношения , когда по любому закону стремится к нулю, то:
1) этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом
2) в этом случае функция называется дифференцируемой в точке .
Все правила и формулы дифференцирования функции действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного.
Теорема.
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке 
, необходимо и достаточно, чтобы:
1) действительные функции и были дифференцируемы в точке *) ;
2) в этой точке выполнялись условия
, (4.2)
называемые условиями Коши-Римана (C.-R. ) или Даламбера-Эйлера.
При выполнении условий (C.-R .) производная функции может быть найдена по одной из следующих формул:
Приведем два определения, имеющих фундаментальное значение в теории функции комплексного переменного.
Определение. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Определение. Функция называется аналитической в точке , если она является аналитической в некоторой окрестности точки , т.е. если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в ее окрестности.
Из приведенных определений видно, что понятия аналитичности и дифференцируемости функции в области совпадают, а аналитичность функции в точке и дифференцируемость в точке – разные понятия. Если функция аналитична в точке, то она, безусловно, дифференцируема в ней, но обратное может и не иметь места. Функция может быть дифференцируема в точке, но не быть дифференцируемой ни в какой окрестности этой точки, в таком случае она не будет аналитической в рассматриваемой точке.
Условием аналитичности функции в области является выполнимость условий Коши–Римана для всех точек этой области.
Связь аналитических функций с гармоническими . Любая ли функция двух переменных и может служить действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции?
Если функция аналитическая в области , то функции и являются гармоническими, т.е удовлетворяют уравнению Лапласа.
и 
.
Однако если функции и являются произвольно выбранными гармоническими функциями, то функция 
, вообще говоря, не будет аналитической, т.е. условия для них не всегда будут выполняться.
Можно построить аналитическую функцию по одной заданной гармонической функции (например, 
), подобрав другую 
так, чтобы удовлетворялись условия . Условия (4.2) позволяют определить неизвестную функцию (например, ) по ее двум частным производным или, что то же самое, по ее полному дифференциалу. Отыскивание гармонической функции по ее дифференциалу есть известная из действительного анализа задача интегрирования полного дифференциала функции двух переменных.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть функция дифференцируема в области и . Функция отобразит точку плоскости в точку плоскости , кривую , проходящую через точку в кривую , проходящую через (рис.4.1).
Модуль производной 
есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между их прообразами и . Поэтому величину можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения (если ) в точке при отображении области в области , осуществляемом функцией
 |  |
В каждой точке области в каждом направлении коэффициент растяжения будет свой. Для аргумента производной можно записать
где и это соответственно углы и , которые векторы и образуют с действительной осью (рис.4.1). Пусть и углы, образованные касательными к кривой и в точках и с действительной осью. Тогда при , а , поэтому 
определяет угол, на который нужно повернуть касательную к кривой в точке , чтобы получить направление к касательной к кривой в точке .
Если рассмотреть две кривые и , и , то углы и (рис. 4.1) между их касательными, вообще говоря, неравные.
Определение. Отображение области на область , обладающее свойствами постоянства растяжений () в любом направлении и сохранения (или консерватизма) углов между двумя кривыми, пересекающимися в точке , называется конформным (подобным в малом). Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых .
УПРАЖНЕНИЯ
55. Показать, что функция дифференцируема и аналитична во всей комплексной плоскости. Вычислить ее производную.
Решение.
Найдем и . По определению имеем . Следовательно, 
.
, 
,
Откуда 
, 
.
Как видно, частные производные непрерывны на всей плоскости, и функции и дифференцируемы в каждой точке плоскости. Условия выполняются. Следовательно, дифференцируема в каждой точке плоскости, а значит, и аналитична на всей плоскости . Поэтому производную можно найти по одной из формул (4.3):
Наконец, производная может быть найдена по правилам формального дифференцирования: .
56. Выяснить, является ли аналитической функция:
Решение.
а) Так как , то , откуда 
. Как видно, первое условие (4.2) не выполняется ни при каких и . Следовательно, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости, а поэтому и не аналитична.
б) Имеем . Функция 
и 
дифференцируемы в каждой точке плоскости, ибо их частные производные непрерывны во всей плоскости. Но условия не выполняются ни в какой точке плоскости, кроме точки , где все частные производные равны нулю. Следовательно, функция дифференцируема только в одной точке, но не является аналитической в ней, так как по определению требуется дифференцируемость в окрестности данной точки.
Таким образом, функция не является аналитической ни при каком значении . Из приведенного примера ясно, что аналитичность функции в точке более сильное требование, чем дифференцируемость ее в этой точке.
57. Существует ли аналитическая функция, для которой 
?
Решение.
Проверим, является ли функция 
гармонической. С этой целью находим
и 
. Из последнего соотношения следует, что не может быть действительной, а также и мнимой частью аналитической функции.
58. Найти, если это возможно, аналитическую функцию по ее действительной части 
.
Решение.
Прежде проверим, является ли функция 
гармонической. Находим , , 
, 
и 
. Гармоническая на всей плоскости функция сопряжена с условиями Коши-Римана , . Из этих условий получаем , 
. Из первого уравнения системы находим интегрированием по , считая постоянным.
где произвольная функция, подлежащая определению. Найдем отсюда 
и приравняем к выражению , ранее найденному: . Получим дифференциальное уравнение для определения функции 
, откуда
Итак, . Тогда, т.е. в данной точке происходит вращение на угол и образующие между собой угол , отображаются соответственно в лучи и , образующие между собой угол 
. Поэтому в точке конформность отображения нарушается в силу того, что нарушается свойство консерватизма углов: углы не сохраняются, а утраиваются.
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (конформное преобразование), отображение одной области (в плоскости или в пространстве) на другую область, сохраняющее углы между кривыми. Простейшими примерами конформного отображения являются преобразования подобия и повороты (ортогональные преобразования).
Конформное отображение применяется в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (карте) с сохранением величин всех углов; примеры таких конформных отображений - стереографическая проекция и проекция Меркатора (смотри Картографические проекции). Особое место занимают конформные отображения одних областей плоскости на другие; их теория имеет существенные приложения в аэро- и гидромеханике, электростатике и теории упругости. Решение многих важных задач легко получается, когда область, для которой ставится задача, имеет достаточно простой вид (например, круг или полуплоскость). Если задача ставится для более сложной области, то оказывается достаточным конформно отобразить простейшую область на данную, чтобы получить решение новой задачи из известного решения. Именно таким путём шёл Н. Е. Жуковский, создавая теорию крыла самолёта.
Не всякие области плоскости допускают конформные отображения друг на друга. Так, например, круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями, нельзя конформно отобразить на кольцо с другим отношением радиусов. Однако любые две области, каждая из которых ограничена лишь одной кривой (односвязные области), могут быть конформно отображены друг на друга (теорема Римана). Что касается областей, ограниченных несколькими кривыми, то такую область всегда можно конформно отобразить на область, ограниченную таким же числом параллельных между собой прямолинейных отрезков (теорема Гильберта) или окружностей (теорема Кёбе), но размеры и взаимное расположение этих отрезков или окружностей нельзя задать произвольно.
Если ввести комплексные переменные z и w в плоскостях оригинала и образа, то переменная w, рассматриваемая при конформном отображении как функция от z, является или аналитической функцией, или функцией, комплексно сопряжённой с аналитической. Обратно, любая функция, аналитическая в данной области и принимающая в разных точках области разные значения (такая функция называется однолистной), конформно отображает данную область на некоторую другую область. Поэтому изучение конформного отображения областей плоскости сводится к изучению однолистных аналитических функций.
Всякое конформное отображение трёхмерных областей переводит сферы и плоскости в сферы и плоскости и сводится или к преобразованию подобия, или к последовательно выполненным одному преобразованию инверсии и одному преобразованию подобия (теорема Лиувилля). Поэтому конформные отображения трёхмерных (и вообще многомерных) областей не имеют столь большого значения и таких разнообразных приложений, как конформные отображения двумерных областей.
Начало теории конформного отображения заложено Л. Эйлером (1777), обнаружившим связь функций комплексного переменного с задачей о конформном отображении частей сферы на плоскость (для построения географических карт). Изучение общей задачи конформного отображения одной поверхности на другую привело К. Гаусса (1822) к развитию общей теории поверхностей. Б. Риман (1851) сформулировал условия, при которых возможно конформное отображение одной области плоскости на другую, однако намеченный им подход удалось обосновать лишь в начале 20 века (А. Пуанкаре и К. Каратеодори). Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, открывших широкое поле приложений конформного отображения в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории конформного отображения как большого раздела теории аналитической функций.
Лит.: Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М., 1966; Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. 2-е изд. М., 1968. Т. 2; Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 6-е изд. М., 2002.
Для нахождения образа какого-нибудь множество Е (линии, области), заданного на комплексной плоскости z с помощью некоторых условий А (уравнений, неравенств), при отображении поступают следующим образом. Из условий А и равенства , где , , исключая x, y или , получают новые условия через u, v или . Эти условия описывают некоторое множество на плоскости w, которое и будет образом множества Е при отображении .
Конформные отображения многих областей друг на друга осуществляются с помощью элементарных функций. Часто применяются следующие функции.
1. - параллельный перенос на вектор .
2. - преобразование подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия .
3. - поворот вокруг начала координат на угол .
4. - степенная функция. Отображает угол конформно на угол (рис. 11). При этом сектор переходит в сектор , область - в область , а дуга окружности - в дугу окружности .
В дальнейшем в случае многозначности функции (это будет, когда - нецелое число) под будем понимать ту однозначную ветвь, которая в точке z = 1 принимает значение
5. - показательная функция. Отображает полосу , конформно на угол (рис.12). При этом полуполоса переходит в сектор , а полуполоса - в область .
6. - функция Жуковского. Отображает единичный круг , а также внешность единичного круга конформно на плоскость с разрезом по отрезку [-1; 1] (рис. 13). При этом области
(нижний полукруг и верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в верхнюю полуплоскость , а области (верхний по-лукруг и нижняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в нижнюю полуплоскость .
7. - дробно-линейная функция. Ее основные свойства приведены в теоретической части занятий 7, 8.
На практике часто встречаются области следующих типов, которые бывает надо отобразить конформно на верхнюю полуплоскость.
1. Области, границы которых имеют две угловые точки (рис. 14).
Используя какую-нибудь дробно-линейную функцию, отобразить
одну из угловых точек в 0, а другую в , после чего получится угол с вершиной в начале координат. Далее осуществить поворот и применить степенную функцию.
2. Круг, внешность круга или полукруг с разрезом (рис. 15).
Применить преобразование подобия и функцию Жуковского, после чего получится плоскость или полуплоскость с разрезами.
3. Области, ограниченные окружностями (прямыми) или дугами окружностей, которые имеют точку касания (рис. 16).
Используя дробно-линейную функцию, отобразить точку касания в , после чего получится полоса или полуполоса. Далее применить показательную функцию.
4. Области, границы которых имеют три и более угловых точек (рис.17).
Используя степенную функцию, выпрямить некоторые из углов.
Задачи
1. Найти образ прямой при отображении .
Решение . Пусть Тогда из условия Re z = и равенства , т.е. равенства имеем х = , откуда, исключая x и y, получим . Следовательно, образом прямой Re z = будет парабола .
2. Найти образы прямых при отображении .
Решение . Считая , из равенства
находим: . Присоединяя к этим равенствам условие и исключая из полученных равенств х и у, получим . Это уравнение описывает логарифмическую спираль при и луч при = 0.
3. Найти образ верхней полуплоскости с разрезом по отрезку , при отображении .
Решение. Функция отображает верхнюю полуплоскость, рассматриваемую как угол , на угол , т.е. на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси . Из этой области надо выкинуть еще образ отрезка при отображении . Отрезок задается условиями х = 0, . Из этих условий и равенств полу-чаемых из равенства , исключая х и у, получим: . Значит, образом отрезка будет отрезок , а образом исходной области будет плоскость с разрезом по лучу .
4. Найти какие-нибудь конформные отображения на верхнюю полуплоскость Im z > 0 следующих областей:
в) плоскость с разрезом по лучам и ;
г) верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку ;
д) внешность единичного круга с центром в точке 0 и с разрезом по лучу ;
е) верхнюю половину единичного круга с разрезом по отрезку ;
ж) сектор ;
з) полуполосу ;
л) полосу с разрезом по лучу .
Решение. Последовательности отображений, с помощью которых осуществляются конформные отображения заданных областей на верхнюю полуплоскость, а также области, получаемые при этих отображениях, указаны на следующих рисунках.
Границы заданной области имеет две угловые точки -1 и 1, которые с помощью функции z 1 отображаются соответственно в и 0. Точка z = угловой точкой границы не является, так как на бесконечности лучи и , рассматриваемые как единая часть прямой Im z = 0, угол не образуют. Функция z 1 отображает заданную область на угол величины с вершиной в начале координат, который с помощью степенной функции отображается на угол величины , т.е. на верхнюю полуплоскость.
Так как при отображении z 1 лучи и в совокуп-ности переходят в один луч , то образом заданной области при отображении z 1 будет вся плоскость с разрезом по лучу , т.е. угол величины с вершиной в начале координат, который с по-мощью функции отображается на верхнюю полуплоскость.
Функция Жуковского z 1 отображает внешность единичного круга на внешность отрезка , а разрез по лучу на луч . Поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет внешность отрезка , откуда выкидывается еще луч , т.е. будет плоскость с разрезом по лучу .
Преобразование отображает единичный верхний полукруг на единичный круг с разрезом по отрезку , а отрезок на отрезок , поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет единичный круг с разрезами по отрезкам и . Полученная область отображается функцией Жуковского z 2 на плоскость с разрезом по лучу , так как при этом отображении единичный круг переходит во внешность отрезка , отрезок на отрезок , а отрезок на луч .
Граница исходной области имеет точку касания z = 0, которая с помощью функции отображается в . При этом сама область переходит в полосу.
Для отображения полуполосы, изображенной на плоскости z 3 , на верхнюю полуплоскость воспользовались ответом примера з), где брали . Тогда .
При отображении полоса переходит в угол , т.е. в плоскость с разрезом по лучу , а разрез переходит в луч , поэтому исходная область переходит в плоскость с разрезами по лучам и . Далее воспользовались ответом примера в).
5. Отобразить полукруг на круг так, чтобы .
Решение. Сначала найдем какое-нибудь конформное отображение заданного полукруга на верхнюю полуплоскость. Одно из таких отображений дается последовательностью конформных отображений, указанных на следующих рисунках.
отображает заданный полукруг конформно на верхнюю полуплоскость. При этом внутренняя точка перейдет в точку , а граничная точка 2 в точку 1. Отобразим теперь полуплоскость на круг так, чтобы точка перешла в точку 0, а точка 1 в точку 1. Так как искомое отображение является дробно- линейным, то при этом согласно свойству симметрии дробно-линейной функции точка , симметричная точке относительно границы полуплоскости , перейдет в точку , симметричную точке 0 относительно границы круга . Следовательно, искомое отображение переводит точки , , 1 соответственно в точки 0, , 1. Оно находится из соотношения
где . Эта функция отображает заданный полукруг на единичный круг так, что .
Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.
Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.
Основные свойства конформных отображений:
1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;
2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.
Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.
Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения
в каждой точке z, где отображение конформно.
Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.
Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).
Точки, где, называются критическими точками отображения.
Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.
Отображение конформно в бесконечно удаленной точке, если функция конформно отображает начало в - плоскость.
Две кривые пересекаются под углом в точке, если преобразование переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом в точке.
Аналогично, конформно отображает точку конформно в точку .
Пример 1. С помощью функции отобразить на плоскость прямую.
Преобразуем прямую.Получаем.
Таким образом,
Подставляем в полученные уравнения:
и получаем
Из полученных уравнений исключаем х.
Из уравнения (1) находим х и получаем
Подставляем (3) в уравнение (2):
получаем
Изобразим полученные линии на рисунке 1.
Рисунок 1 Конформное отображение прямой функцией
Ответ: Итак, прямая, расположенная в плоскости хОу, конформно отобразилась в кривую (параболу) расположенную в плоскости
Пример 2. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении:
При отображении с помощью функции угол поворота есть,а .
В точке имеем
Ответ: (сжатие).
Пример 3. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении:
При отображении с помощью функции угол поворота есть,а коэффициент искажения масштаба в точке равен
В точке имеем
(растяжение).
Ответ: (растяжение).
Пример 4. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:
Коэффициент искажения масштаба в точке равен
Находим производную
Следовательно,
Пример 5. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:
Коэффициент искажения масштаба в точке равен
Находим производную
По условию коэффициент искажения масштаба должен быть равен 1.
Следовательно,
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z 0 .
Определение 1. Отображение называется конформным в точке z 0 , если оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений в точке z 0 .
Пусть функция f(z) однолистная в конечной области E .
Определение 2. Отображение называется конформным в области E , если оно конформно в каждой точке этой области.
Очевидно, линейная функция (b и a ¹ 0 – комплексные числа) осуществляет конформное отображение всей комплексной плоскости z на комплексную плоскость w. Ради наглядности совместим эти плоскости так, чтобы начала и оси координат совпадали. Тогда в частности w = z + z 0 осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор z 0 , (a - действительное) – поворот плоскости вокруг начала координат на угол a, а w = kz (k > 0) – преобразование подобия, k – коэффициент подобия. Записав линейную функцию в виде видим, что ее можно представить как произведение операций сдвига, подобия и вращения. Т. к. при этих операциях свойства сохранения углов и постоянства растяжений очевидны, то это отображение конформно.
Углом между прямыми , проходящими через бесконечно удаленную точку, называют угол между образами этих кривых при отображении в точке w = 0.
Например, оси декартовой системы координат пересекаются в нуле под углом Поскольку на расширенной комплексной плоскости бесконечно удаленная точка одна, то оси пересекаются и в бесконечно удаленной точке При отображении оси координат отображаются сами в себя (плоскости z и w совмещены) и, следовательно, в бесконечно удаленной точке они пересекаются также под углом
Определение 2 распространяют на любую область расширенной комплексной плоскости. Если доопределить линейную функцию, полагая при то можно убедиться, что она конформно отображает расширенную комплексную плоскость z w.
Отметим свойства функции f (z ), которыми она должна обладать, чтобы отображение, осуществляемое ею, было конформным.
Теорема 1. Если функция f (z ) однолистная в области Е расширенной комплексной плоскости и аналитическая всюду за исключением быть может одной точки в которой но то отображение w = f(z) области Е на область G значений функции конформно (без доказательства).
Рассмотрим дробно-линейную функцию При с = 0 она переходит в линейную, рассмотренную выше, поэтому положим с ¹ 0. Дробно-линейная функция однолистная на всей комплексной плоскости, т. к. обратная функция однозначная. Она аналитическая всюду, исключая точку В ней она обращается в бесконечность,
Функция удовлетворяет теореме 1 на всей комплексной плоскости, следовательно, конформна на всей комплексной плоскости. Доопределим функцию, полагая при и при Можно убедиться, что в этом случае дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w .
Справедливо и обратное утверждение, если функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w , то эта функция дробно-линейная.
Прямую на расширенной комплексной плоскости будем считать окружностью бесконечного радиуса. Можно доказать, что любую окружность на расширенной комплексной плоскости дробно-линейная функция отображает на окружность, а полуплоскость – в круг. При этом всякое дробно-линейное отображение полуплоскости z > 0 на круг имеет вид
где Im z 0 >0, a - действительное.
Рассмотрим функцию
которую называют функцией Жуковского.
Функция (2) определена и однозначна на всей комплексной плоскости (исключая точку z = 0), но не однолистна на ней, т. к. обратная функция неоднозначная. Точки являются точками ветвления.
Найдем область однолистности. Для этого положим, что две различные точки z 1 и z 2 отображаются в одну и ту же точку w . Тогда получим
Таким образом, всякая область, не содержащая ни одной пары точек, удовлетворяющей условию будет областью однолистности функции Жуковского. Этому условию удовлетворяет, например, круг ½z ½< 1 или внешность этого круга ½z ½> 1. В этих областях функция (2) удовлетворяет теореме 1 и, следовательно, отображает эти области конформно.
Найдем область, на которую конформно отображает функция Жуковского круг ½z ½< 1. Положим Подставляя в (2) и отделяя действительную u и мнимую v части, получим
Уравнения (3) есть уравнения эллипса с полуосями
Таким образом, всякая окружность отображается в эллипсе. Из (4) следует, что при r ®1 a ®1, b ®0, т. е. граница круга ½z ½< 1 отображается в дважды пробегаемый отрезок ½u ½£ 1 действительной оси плоскости w . При r ®0 и , следовательно, круг ½z ½< 1 отображается на расширенную комплексную плоскость w с разрезом от точки z = -1 до точки z = 1 (см. рис 6¢).
Аналогично можно убедиться, что и внешность круга ½z ½> 1 отображается функцией Жуковского на расширенную комплексную плоскость с тем же разрезом. Таким образом, функция Жуковского отображает расширенную комплексную плоскость на поверхность Римана, состоящую из двух плоскостей склеенных по разрезу действительной оси от точки z = -1 до точки z = 1.
Основная задача теории конформных отображений заключается в нахождении функции, отображающей одну заданную область на другую заданную область. Достаточно простого алгоритма решения этой задачи не существует, поэтому на практике следует руководствоваться общими условиями существования конформного отображения и общими принципами. Перечислим важнейшие из них. Во-первых, нельзя конформно отобразить многосвязную область на односвязную, а во-вторых, нельзя всю комплексную плоскость конформно отобразить на конечную область. Однако, две произвольные односвязные области, границы которых состоят более, чем из одной точки, всегда можно конформно отобразить друг на друга.
Теорема 2 (принцип соответствия границ). Если функция w = f (z ) конформно отображает одну область на другую, то она взаимно однозначно отображает и границы этих областей (без доказательства).
Справедлива и обратная теорема. Если функция w = f (z ), аналитическая в области Е и непрерывная на ее границе, однозначно отображает эту границу на некоторую кривую Г , то функция f (z ) конформно отображает область Е на область G , границей которой является кривая Г .
Пример. Найти такое конформное отображение верхней полуплоскости с разрезом по мнимой оси от точки z = 0 до точки z = i (см. рис. 7 а) на единичный круг, чтобы точка отобразилась в центр этого круга.
Решение. Разгладим сначала разрез. Т.к. на разрезе точки имеют аргумент p/2, то воспользуемся функцией w 1 = z 2 , поскольку она удваивает аргумент точки. Эта функция аналитическая и однолистная в верхней полуплоскости и поэтому конформно отображает заданную область на плоскость w , с разрезом [-1,¥) (см. рис. б).
Согласно принципу соответствия границ ломаная ABCDA отобразится в разрез ABCDA плоскости w 1 . Обозначения соответственных точек при отображении на рисунках сохранены. Буквой A обозначена бесконечно удаленная точка плоскости z (а также плоскостей w 1 , w 2 и w 3).
Осуществим теперь сдвиг комплексной плоскости w 1 так, чтобы точка С попала в начало координат. Для этого воспользуемся линейным отображением w 2 = w 1 + 1 (см. рис. в).
Затем комплексную плоскость w 2 с разрезом }
